四边形ABCD内部存在一点P，使得ABPD为平行四边形．求证：若∠CBP=∠CDP，则∠ACD=∠BCP，反之亦然．

Question

四边形ABCD内部存在一点P，使得ABPD为平行四边形．求证：若∠CBP=∠CDP，则∠ACD=∠BCP，反之亦然．

Answer 1

证明：以PD，PC为一组邻边作平行四边形PCED，
连接AE，
∴CE∥PD，CE=PD，
∵PD∥AB，PD=AB，
∴CE∥AB，CE=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，
在△ADE与△BPC中，

AE=BC

DE=PC

AD=BP

，
∴△ADE≌△BPC（SSS），
∴∠DAE=∠CBP，∠AED=∠BCP，
当∠CBP=∠CDP时，
∵PD∥CE，
∴∠DCE=∠CDP=∠CBP=∠DAE，
∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ACD=∠AED=∠BCP，
当∠ACD=∠BCP时，∠ACD=∠BCP=∠AED，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠DAE=∠DCE，
∵PD∥CE，
∴∠DCE=∠CDP，
∴∠CDP=∠DAE=∠CBP．