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(2014•长春一模)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=2n•(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn.
题目详情
(2014•长春一模)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
2 |
n•(an+2) |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,由a1=2和a2,a3,a4+1成等比数列,得
(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,
当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.
∴d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
即数列{an}的通项公式an=2n;
(Ⅱ)由an=2n,得
bn=
=
=
=
−
,
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=1−
+
−
+
−
+…+
−
=
.
(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,
当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.
∴d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
即数列{an}的通项公式an=2n;
(Ⅱ)由an=2n,得
bn=
2 |
n•(an+2) |
2 |
n(2n+2) |
1 |
n(n+1) |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=1−
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
n |
n+1 |
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