（2014•长春一模）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2n•(an+2)，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

（2014•长春一模）已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=(2)/(n•(an+2))，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，得
（2+2d）²-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）由a_n=2n，得
b_n=(2)/(n•(an+2))=(2)/(n(2n+2))＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)=(n)/(n+1)．