双曲线x^2/a^2—y^2/b^2=1的虚轴端点与左焦点连线的中点在直线x=—a^2/c上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则OP向量与OQ向量的数量积为

Question

双曲线x^2/a^2—y^2/b^2=1的虚轴端点与左焦点连线的中点在直线x= —a^2/c上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则OP向量与OQ向量的数量积为

Answer 1

虚轴的端点（0,b）左焦点（－c,0)
中点(-c/2,b/2)
所以c/2=a^2/c c^2=2a^2 c^2=a^2+b^2 所以 a^2=b^2
设P(X,Y) Q(X,-Y) 向量OP×向量OQ＝x^2-y^2
x^2/a^2—y^2/b^2=1
所以x^2-y^2=a^2
所以向量OP×OQ＝a^2