在半径为R的圆桌面上摆放同样大小的半径为r的硬币．要求硬币不准露出圆桌面边缘，并且所摆硬币彼此不能重叠，当摆放n枚硬币之后圆桌面上不能再多摆放一枚这种硬币了．求证：nr＜R＜(

Question

在半径为R的圆桌面上摆放同样大小的半径为r的硬币．要求硬币不准露出圆桌面边缘，并且所摆硬币彼此不能重叠，当摆放n枚硬币之后圆桌面上不能再多摆放一枚这种硬币了．
求证：√(n)r＜R＜(2√(n)+1)r．

Answer 1

证明：桌面的面积为πR²，n枚硬币的面积为nπr²，
因为硬币不准露出桌面，
所以nπr²＜πR²，即：√(n)r＜R．
根据桌面上摆放n枚硬币后不能再多摆放一枚硬币，可以得出硬币之间的空隙面积一定小于硬币面积，
所以，硬币之间的空隙小于nπr²，
∴πR²＜2nπr²，
∴R＜√(2n)r，
∴R＜√(2n)r＜（2√(n)+1）r，
∴√(n)r＜R＜(2√(n)+1)r．