已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=1anan+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求证：Sn＜12．

Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=(1)/(anan+1)，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜(1)/(2)．

Answer 1

（1）设数列{a_n}公差为d，且d≠0，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，a₁=1
∴（1+d）²=1×（1+4d）
解得d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=(1)/(anan+1)=(1)/((2n−1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)）+(1)/(2)（(1)/(3)-(1)/(5)）+…+(1)/(2)（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)）=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）＜(1)/(2)