已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2与a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=na1+（n-1）a2+…+2an-1+an，求Tn．

Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，求T_n．

Answer 1

（1）∵单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
设首项为a₁，公比为q，
∴

a1q+a1q3＝20

a3＝a1q2＝8

，
解得a₁=2，q=2，或a1＝32，q＝(1)/(2)，
又{a_n}单调递增，∴q=2，a₁=2，
∴an＝2n．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，①
2T_n=n•2²+（n-1）•2³+…+2•2ⁿ+2ⁿ⁺¹，②
②-①得：Tn＝−2n+22+23+…+2n+2n+1
=-2n+(22(1−2n))/(1−2)
=2ⁿ⁺²-2n-4．