在等差数列中，，．令，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数，（）使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存

Question

在等差数列中，，．令，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）是否存在正整数，（） 使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

试题解析：（1）设数列的公差为，由得

解得，

∴                             

（2）∵

∴

                                         

（3）由（1）知，，，

假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，

则 ， 即            

经化简，得

∴

∴ （*）                           

当时，（*）式可化为 ，所以           

当时，

又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.