已知f（x）=loga2+mxx-2是奇函数（其中a>1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

Question

已知f（x）=log_a(2+mx)/(x-2)是奇函数（其中a>1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0，即log_a(2+mx)/(x-2)+loga(2-xm)/(-x-2)=0
∴((2+mx)(-mx+2))/((x-2)(-2-x))=1，解得：m=±1，
当m=-1时，f（x）无意义，所以f(x)=loga(x+2)/(x-2)，
故得m的值为1．
（2）由（1）得f(x)=loga(x+2)/(x-2)，设2<x₁<x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=loga(x2+2)/(x2-2)-loga(x1+2)/(x1-2)=loga(x1x2+2(x1-x2)-4)/(x1x2-2(x1-x2)-4)
∴2<x₁<x₂，∴0<2x₁x₂+2（x₁-x₂）-4<x₁x₂-（x₁-x₂）-4，
∵a>1，∴f（x₂）<f（x₁）
所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．
（3）由（1）得f(x)=loga(x+2)/(x-2)，
∴(2+x)/(x-2)>0得，函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）
又∵(x+2)/(x-2)≠1，得f（x）∈（-∞，0）∪（0，+∞）
令f（x）=1，则(x+2)/(x-2)=，解得：x=(2+2a)/(a-1)．
所以：f（(2+2a)/(a-1)）=1
当a>1时，(2+2a)/(a-1)>2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．
所以：当x∈（2，(2+2a)/(a-1)）时，得f（x）∈1，+∞）；
由题意：r=2，那么a-2=(2+2a)/(a-1)，解得：a=5．
所以：当x∈（r，a-2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．