（2013•香坊区三模）直角三角形ABC中，∠C=9O°，P、E分别是边AB、BC上的点，D为△ABC外一点，DE⊥BC，DE=EC，tan∠DBE=12，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AB=6，则线段AC的长为31053105．

Question

（2013•香坊区三模）直角三角形ABC中，∠C=9O°，P、E分别是边AB、BC上的点，D为△ABC外一点，DE⊥BC，DE=EC，tan∠DBE=(1)/(2)，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AB=6，则线段AC的长为

(3√(10))/(5)

(3√(10))/(5)

．

Answer 1

作DF⊥AC，交AC的延长线于F点，如图，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∵DE=EC，
∴四边形CEDF为正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED＝∠F

∠BDE＝∠2

DE＝DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵tan∠DBE=(1)/(2)，
∴BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC，
设AC=x，则BC=3x，
∴x²+9x²=36，
解得：x=(3√(10))/(5)，
∴AC=(3√(10))/(5)．
故答案为：(3√(10))/(5)．