一个特殊模具容器横断面如图所示：内壁是抛物线y＝12x2的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的两腰AF、BE及底AB围成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，点O到EF的距离是8厘米，BE所在直线与抛物线y＝12x2相切

Question

一个特殊模具容器横断面如图所示：内壁是抛物线y＝(1)/(2)x2的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的两腰AF、BE及底AB围成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，点O到EF的距离是8厘米，BE所在直线与抛物线y＝(1)/(2)x2相切于点E．
（Ⅰ）求切线BE的方程和容器的高h；
（Ⅱ）求这个容器横断面的面积（阴影部分）

Answer 1

（Ⅰ）∵EF=8，且EF关于y轴对称，∴点E的横坐标为4，
又∵点E在抛物线y＝(1)/(2)x2上，∴点E的纵坐标是y_E=8即E（4，8）
函数y＝(1)/(2)x2的导数为y′=x
∵直线BE与抛物线y＝(1)/(2)x2相切，E为切点，
∴直线BE的斜率k=y'|_x=4=4
∴直线BE的方程是y-8=4（x-4）即y=4x-8
∵AB=3，且AB关于y轴对称，∴B的横坐标是xB＝(3)/(2)，
又点B在直线y=4x-8上
∴点B的纵坐标是yB＝4×(3)/(2)−8＝−2
∴h=y_E-y_B=8-（-2）=10
即容器的高为10厘米   
（Ⅱ）∵EF=8，E点的横坐标为4，∴F点的横坐标为-4．
S_梯形ABEF=((AB+EF)•h)/(2)=((3+8)×10)/(2)=55
∵直线EF方程为y=8，
∴抛物线y＝(1)/(2)x2与直线EF所围曲边图形面积S₀=∫_-4⁴（8-(1)/(2)x2）dx=（8x-(1)/(6)x3）|_-4⁴=(128)/(3)
∴容器横断面的面积S=S_梯形ABEF-S₀=55-(128)/(3)=(37)/(3)
∴这个容器横断面的面积(37)/(3)平方厘米