设f（x）具有连续的二阶导数，满足条件f（1）=1，又积分(C)[lnx-f（x）]yxdx+f（x）dy与路径无关，求f（x）．

Question

设f（x）具有连续的二阶导数，满足条件f（1）=1，又积分

(C)

[lnx-f（x）](y)/(x)dx+f（x）dy与路径无关，求f（x）．

Answer 1

由题意，令P(x，y)=[lnx-f(x)]yx，Q(x，y)=f(x)，因积分与路径无关，所以有∂Q∂x=∂P∂y，由此得微分方程：f′(x)=(lnx-f(x))1x即f′(x)+1xf(x)=lnxx，这是一阶线性微分方程，解得f(x)=e-∫1xdx(∫lnxxe∫1xdxdx+C)...