已知实数xy满足|x|+|y|=√[(x-1)^2+(y-1)^2]则x^2+y^2的最小值是如题答案是6-4√2.求告诉怎么算的

Question

已知实数x y满足|x|+|y|=√[(x-1)^2+(y-1)^2] 则x^2+y^2的最小值是
如题
答案是6-4√2.求告诉怎么算的

Answer 1

先两边同时平方,得到：

x^2+y^2+2|xy|=x^2+y^2-2x-2y+2

化简得到：

|xy|=1-x-y

所以,x+y≤1

（1）x≥0,y≥0

xy+x+y=1

xy+x+y+1=2

(x+1)(y+1)=2

(x+1)+(y+1)≥2·根号[(x+1)(y+1)]=2·根号2

∴  x+y≥2·根号2-2

∴  x^2+y^2≥(x+y)^2/2=6-4·根号2

（2）x≥0,y<0

xy-x-y+1=0

(x-1)(y-1)=0

所以,x=1,y<0

 x^2+y^2＞1＞6-4·根号2

（3）x＜0,y≥0

xy-x-y+1=0

(x-1)(y-1)=0

所以,y=1,x<0

 x^2+y^2＞1＞6-4·根号2

（4）x＜0,y＜0,

xy+x+y=1

xy+x+y+1=2

(x+1)(y+1)=2

(x+1)+(y+1)≤ -2·根号[(x+1)(y+1)]= -2·根号2

∴  x+y≤ -2·根号2-2

∴  x^2+y^2≥(x+y)^2/2=6+4·根号2

综上,x^2+y^2的最小值为

6-4·根号2

【当x=y=根号2-1时取得】