如图1所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“A”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m，

Question

如图1所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“A”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m，以MN的中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox，一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3m，质量m为1kg，电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v=1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好），g取10m/s²．
（1）求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x=0.8m处电势差U_CD；
（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图2中画出F-x关系图象；
（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．

Answer 1

（1）导体棒开始运动时，回路中产生的感应电动势为：E=Bdv=0.5×3×1=1.5V；
由几何关系得：

.

OP

=√(.PM2-.OM2)=√(2．52-1．52)m=2.0m，
sin∠MPO=(OM)/(PM)=(1.5)/(2.5)=0.6，
接入导轨之间的有效长度：L=2•（2.0-vt）•tan∠MPO=1.5×（2.0-vt），
金属杆CD运动过程中产生的有效感应电动势E：
E=BLv=0.5×1.5×（2.0-x）×1=0.75（2.0-x），
运动到x=0.8m处时的有效电动势：E₁=0.75（2.0-x）=0.75×（2.0-0.8）V=0.9V．
这一段相当于相当于电源，而且轨道没有电阻，所以电源是被短接的，那么接入回路中的这一部分电势处处相等，所以CD两端电势差就由剩余两端的导体棒产生，又由右手定则判断D比C电势高；
所以：U_DC=E-E₁=1.5V-0.9V=0.6V，
U_CD=-0.6V；
（2）接入电路的导体棒的电阻：R′=(L)/(L0)•R=(1.5(2.0-x))/(3.0)×0.3=0.15(2.0-x)
感应电流：I=(E)/(R′)=(0.75(2.0-x))/(0.15(2.0-x))=5A
安培力F_安=BIL=0.5×5×1.5（2.0-x）=3.75（2.0-x）
由平衡条件得：mgsinθ+F_安=F 
得拉力F与位置坐标x的关系式：F=5+3.75（2.0-x）
x=0时，F=12.5；
x=2.0时，F=5N画出F-x关系图象如图：
 （3）设导体棒经t时间沿导轨匀速向上运动的位移为x，
则t时刻导体棒切割的有效长度L_x=L-2x            
导体棒在导轨上运动时所受的安培力：F_安=3.75（2.0-x）
因安培力的大小F_安与位移x成线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值：

.

F

=(3.75×2.0+0)/(2)=3.75N
产生的焦耳热：Q=

.

F

•x=3.75×2.0J=7.5J
答：（1）金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E=1.5V，运动到x=0.8m处CD之间的电势差是-0.6V；
（2）金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式是F=5+3.75（2.0-x），并在图2中画出F-x关系图象如图；
（3）金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热是7.5J．