如图所示，水平地面上方MN边界左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿竖直方向的匀强电场，磁感应强度B=1.0T，边界右侧离地面高h=3m处有光滑绝缘平台，右边有一带正电的a球，质量ma=0.1kg、

Question

如图所示，水平地面上方MN边界左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿竖直方向的匀强电场，磁感应强度B=1.0T，边界右侧离地面高h=3m处有光滑绝缘平台，右边有一带正电的a球，质量m_a=0.1kg、电量q=0.1C，以初速度v₀=3.4m/s水平向左运动，与质量为m_b=0.07kg静止于平台左边缘的不带电的绝缘球b发生正碰，碰后a球恰好做匀速圆周运动，两球均视为质点，g取10m/s²．求：
（1）电场强度的大小和方向；
（2）碰后a球在电场中运动的最短时间；
（3）碰后a球落点的范围．（计算结果都可以用根号表示）

Answer 1

（1）因为a球做匀速圆周运动，电场力必等于重力，
有：qE=m_ag
得：E=10N/C
方向竖直向上                                   
（2）假设两球发生弹性碰撞，规定a球的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
m_av₀=m_av_a+m_bv_b
根据机械能守恒得：(1)/(2)ma

v

2 0

＝(1)/(2)ma

v

2 a

+(1)/(2)mb

v

2 b

解得：v_a=0.6m/s
假设两球发生完全非弹性碰撞，有：mav0＝(ma+mb)v

′

a

解得：v

′

a

＝2m/s
综合分析得：碰后a球的速度为：0.6m/s≤v_a＜2m/s
碰撞后a球以2m/s在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，
根据Bqv＝ma(v2a)/(R)和T＝(2πR)/(va)得：
R＝(mava)/(Bq)＝2m，T＝(2πma)/(Bq)＝2π
因为sinθ＝(h−R)/(R)＝(1)/(2)，得：θ=30⁰
a球在磁场中转过的角度为120⁰，
所以在磁场中转过时间为：t＝(1)/(3)T＝(2π)/(3)≈2.1s
（3）a球落在N点左边最大距离时，有：La＝Rcos300＝√(3)m
a球从右边界飞出的最小半径为：R′a＝(mava)/(Bq)＝0.6m
a球落在右边的最大距离，由平抛运动有：
h−2R′＝(1)/(2)gt2s=v'_at
得：s＝√((1)/(5)(h−2R′)R′2)
当R'=1m时，s有最大值，
因0.6m≤R'≤1.5m，故s＝√((1)/(5)(h−2R′)R′2)成立   
代入数据解得：s=(√(5))/(5)m
所以，a球可能的落点在距N点左边√(3)m、右边(√(2))/(5)m的范围内．
答：（1）电场强度的大小是10N/C，方向竖直向上．
（2）碰后a球在电场中运动的最短时间是2.1s；
（3）a球可能的落点在距N点左边√(3)m、右边(√(5))/(5)m的范围内．