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如图,强度分别为8,1的两个光源A,B间的距离为3,点P在连接两光源的线段AB上,且距离光源A为x.(1)求点P受光源A,B的总照度与x的函数关系式;(2)点P在何处时,受光源A,B的总照度最

题目详情
如图,强度分别为8,1的两个光源A,B间的距离为3,点P在连接两光源的线段AB上,且距离光源A为x.
(1)求点P受光源A,B的总照度与x的函数关系式;
(2)点P在何处时,受光源A,B的总照度最小;
(注:照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点P在连接两光源的线段AB上,且距离光源A为x.
∴PA=x,PB=3-x,
设点P受光源A,B的总照度为f(x),
则f(x)=
8k
x2
+
k
(3-x)2
,x∈(0,3);
(2)由(1)得f(x)=
8k
x2
+
k
(3-x)2
,x∈(0,3),
∴f′(x)=
-16k
x3
+
2k
(3-x)3
=
18k(x-2)[(x-3)2+3]
x3(3-x)3

当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
故当x=2时,f(x)取最小值,
即点P距离光源A的距离为2时,受光源A,B的总照度最小;
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