如图，强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为3，点P在连接两光源的线段AB上，且距离光源A为x．（1）求点P受光源A，B的总照度与x的函数关系式；（2）点P在何处时，受光源A，B的总照度最

Question

如图，强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为3，点P在连接两光源的线段AB上，且距离光源A为x．
（1）求点P受光源A，B的总照度与x的函数关系式；
（2）点P在何处时，受光源A，B的总照度最小；
（注：照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）

Answer 1

（1）∵点P在连接两光源的线段AB上，且距离光源A为x．
∴PA=x，PB=3-x，
设点P受光源A，B的总照度为f（x），
则f（x）=(8k)/(x2)+(k)/((3-x)2)，x∈（0，3）；
（2）由（1）得f（x）=(8k)/(x2)+(k)/((3-x)2)，x∈（0，3），
∴f′（x）=(-16k)/(x3)+(2k)/((3-x)3)=(18k(x-2)[(x-3)2+3])/(x3(3-x)3)，
当x∈（0，2）时，f′（x）<0，f（x）为减函数；
当x∈（2，3）时，f′（x）>0，f（x）为增函数；
故当x=2时，f（x）取最小值，
即点P距离光源A的距离为2时，受光源A，B的总照度最小；