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如图所示,两根轻弹簧的原长都是d,劲度系数都为k.由于质量为m的小球受重力作用,使系统处于实线所画的平衡位置,此时弹簧从水平位置下垂的倾角为φ.试证:此系统在竖直方向所作

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如图所示,两根轻弹簧的原长都是d,劲度系数都为k.由于质量为m的小球受重力作用,使系统处于实线所画的平衡位置,此时弹簧从水平位置下垂的倾角为φ.试证:此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动,并求其固有的角频率.
[可能用到的知识:若|θ|很小,则sin(θ0+θ)≈sinθ0,其中θ0是已知一定角].
▼优质解答
答案和解析
设小球在平衡位置处下垂的竖直距离为x0,则此时每根弹簧的总长度为
x0
sinφ
,若以平衡位置处为原点O,向下方向为x轴正方向,
如图所示,列出平衡方程(设平衡时每根弹簧弹力大小为F0),
mg-2F0sinφ=0
F0=k(
x0
sinφ
−d),
从而得mg−2k(
x0
sinφ
−d)sinφ=0,
若小球从平衡位置在竖直方向(向下)微小位移x,弹簧与水平方向夹角φ
有微小改变量△φ,易知合力在竖直方向,∑F=mg−2k(
x+x0
sin(φ+△φ)
−d)sin(φ+△φ),
利用提示及所得结果化简得:∑F=-2kx,(负号表明合力方向与位移x的方向相反),所以此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动,其固有的角频率为ω=
2k
m

答:其固有的角频率是
2k
m
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