如图19所示，倾角θ=37°、电阻不计、间距L=0.3m、长度足够的平行导轨处，加有磁感应强度B=1T、方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R0=2Ω电阻.

Question

如图19所示，倾角θ=37°、电阻不计、间距L=0.3 m、长度足够的平行导轨处，加有磁感应强度B=1 T、方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R ₀ =2 Ω电阻.另一横跨在平行导轨间的金属棒质量m=1 kg，电阻r=2 Ω，其与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，金属棒以平行于导轨向上的初速度v ₀ =10 m/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电荷量Δq=0.1 C(g取10 m/s ² ，sin37°=0.6)，求：

图19

（1）金属棒的最大加速度

（2）上端电阻R ₀ 上产生的热量.

Answer 1

解析：根据题意分析可知导体棒在磁场中做切割磁感线运动要产生感应电动势，所以闭合回路中有感应电流；由于导体棒有感应电流，磁场反过来对通电导体棒又有安培力的作用.根据楞次定律得安培力的方向必与导体棒的运动方向相反即沿斜面向下.在这里磁场力总要阻碍导体棒的运动，所以速度将越来越小.速度减小，导体棒切割磁感线产生的感应电动势也将减小，导体棒的电流也减小，磁场对导体棒的安培力减小，又安培力沿斜面向下，故导体棒所受的合外力减小.由以上分析可知，导体棒刚开始运动的时候导体棒的加速度最大.

（1）导体棒运动产生感应电动势，整个回路等效于如右图所示的电路.

    刚开始运动时产生的感应电动势：

E=Bv ₀ L=1×10×0.3 V=0.3 V

    整个回路的总电阻：

R _总 =12R ₀ +r=3 Ω

    导体棒的电流为：

I= = A=1 A

    导体棒所受的安培力：

F _安 =BIL=1×1×0.3 N=0.3 N

导体棒所受的合外力：

F _合 =F _安 +mgsinθ+μmgcosθ=ma _m

    代入得：a _m =  m/s ²

=10.3 m/s ² .

（2）由于速度越来越小，所以安培力是一个变力.变力做功无法用W=Fs来求解，一般我们采用动能定理来求解.首先从题目的已知条件通过上端电阻的电荷量Δq=0.1 C可以求得导体棒向上移动的位移，从而再根据功能关系求得整个回路产生的总热量Q _总 .根据电荷量求得整个过程中的磁通量的变化，由q= Δt= Δt=B ² l ² v _t R+r Δt= Δt=

    由此可得：

ΔΦ=R _总 q=R _总 2Δq=0.6 Wb

    设导体棒向上移动的最大距离为s，则：s= =  m=2 m

    由于导体棒克服安培力所做的功全部转化为热能，由动能定理得：

-μmgcos37°s-mgsin37°s-Q _总 =0- mv ₀ ²

    代入得：Q _总 =31 J

    三个电阻（两个R ₀ 和导体棒的电阻r）上的总热量为30 J，纯电阻电路产生的热量Q=I ² Rt，所以每个电阻上产生的热量的分配与电路中电流的分配是一样的.

    即 = · Q _总 = Q _总 =5 J.

答案：（1）10.3 m/s ²   （2）5 J