如图所示，足够长的斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P的距离为L0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每

Question

如图所示，足够长的斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P的距离为L₀，滑块以初速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求：
（1）滑块上滑的最大距离？
（2）滑块第一次碰挡板的速度？
（3）滑块最终的位置及经过的总路程．

Answer 1

（1）设滑块上滑的最大距离为x，上滑过程，受重力和摩擦力及斜面支持力作用，由动能定理得：
mgxsinθ−μmgxcosθ＝0−(1)/(2)m

v

2 0

解得：x＝(v20)/(2g(μcosθ−sinθ))
（2）滑块在第一次上滑的最大距离为x，上滑前滑块距挡板的距离为L₀，则滑块从最高点下滑到挡板的总距离为（x+L₀），在斜面上，受重力和摩擦力及斜面支持力作用，设其下滑加速度为a，从最高点第一次下滑到挡板的用时为t，第一次碰挡板的速度为v，
可得：x+L0＝(1)/(2)at2       ①
mgsinθ-μmgcosθ=ma      ②
v=at                   ③
联立①②③式可得：v＝√(2gL0(sinθ−μcosθ)−v02)
（3）滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端．在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功．设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：
mgL0sinθ−μmgLcosθ＝0−(1)/(2)m

v

2 0

解得：L=(1)/(μ)(L0tanθ+(v20)/(2gcosθ))
答：（1）滑块上滑的最大距离为(v02)/(2g(μcosθ−sinθ))．
（2）滑块第一次碰挡板的速度为v＝√(2gL0(sinθ−μcosθ)−v02)．
（3）滑块最终停在斜面底端，经过的总路程为(1)/(μ)(L0tanθ+(v20)/(2gcosθ))．