limlncosαx/lncosβx=?（x→0）limlncosx/x^2=?(x→0)第一题直接罗碧达法则怎么做？

Question

lim lncosαx/lncosβx=?（x→0）
lim lncosx/x^2=?(x→0)
第一题直接罗碧达法则怎么做？

Answer 1

lim（x→0） lncosαx/lncosβx
=lim（x→0） ln[1+(cosαx-1)]/ln[1+(cosβx-1)]
【当 x→0 时,cosαx-1→0 cosβx-1→0 ,等价无穷小替换
有等价无穷小量：t→0 ln（1+t）~ t ,cost-1 ~ - t^2/2 】
=lim（x→0） (cosαx-1)/(cosβx-1)
=lim（x→0） -[(αx)^2]/2/{ -[(βx)^2]/2}
=α^2/β^2
或者直接用罗必塔法则求导也是可以：
lim（x→0） lncosαx/lncosβx
=lim（x→0） [α*sinαx/cosαx]/[β*sinβx/cosβx]
=lim（x→0） α/β [sinαx/sinβx]*[cosβx/cosαx]
=α/β * α/β*1
=α^2/β^2
lim(x→0) lncosx/x^2
=lim(x→0) ln[1+(cosαx-1)]/x^2
=lim（x→0）-[(αx)^2]/2/x^2
=-α^2
或者直接用罗必塔法则求导也是可以的.