设fx在01上连续在01内可导且满足f1=2∫(0→1/2)xfxdx求证存在ξ,f'ξ=-fξξ

Question

设fx在01上连续在01内可导且满足f1=2∫(0→1/2)xfxdx求证存在ξ,f'ξ=-fξ
ξ

Answer 1

从积分形式入手,构造有利函数：
证明 由积分中值定理
　　存在 η∈(0,1/2)使得
　　 f(1) = 2∫xf(x)dx
　　 = 2 · 1/2 · ηf(η)
　　 = ηf(η)
　　构造函数 g(x) = xf(x),
　　则 g(x)在[0,1]上连续可导,
　　由 g(η) = g(1)可知存在ξ∈(η,1),使得g'(ξ) = 0
　　即 f(ξ) + ξf'(ξ) = 0