设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.求证:存在v∈(0,1),使f'(v)=－(f(v)/v).

Question

设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.求证:存在v∈(0,1),使f'(v)=－(f(v)/v).

Answer 1

构造辅助函数g(x)=xf(x),则g(x)同样满足在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,且g(0)=g(1)=0,根据罗尔定理,知存在v属于(0,1),使得f'(v)=f(v)+vf'(v)=0,即f'(v)=-f(v)/v.