连续性和刻可导性。函数f(x)在x=x0处连续，若x0为函数f(x)的极值点，则必有()a.f'(x0)=0b.f'(x0)不=0c.f'(x0)=0或不=0d.f'(x0)不存在

Question

连续性和刻可导性。
函数f(x)在x=x0处连续，若x0为函数f(x)的极值点，则必有()
a.f'(x0)=0
b.f'(x0)不=0
c.f'(x0)=0或不=0
d.f'(x0)不存在

Answer 1

若f在x0处可导，则f'(x0)=0，证明如下
如果x0是f的极值点，以x0为极小值点为例，极大值点的情况类似
则存在x0的领域(x0-c,x0+c)，使得其中的任意一点x满足f(x)>=f(x0)
f在x0处可导，则
f'(x0+)=lim(x--x0+) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>=0
同理f'(x0-)<=0
其中f'(x0+)表示f在x0处的右导数，f'(x0-)表示左导数
lim(x--x0+)表示当x从右侧趋于x0时的极限
f在x0处可导，则必有左右导数相等
所以f'(x0)=f'(x0+)=f'(x0-)=0
f也可能在x0处不可导
考虑f(x)=|x|
0是f的最小值点，但f在0处不可导
所以答案应该为
f在x0处不可导，或者f'(x0)=0