等腰三角形等边夹角的任意分割线分割对边后,被分割的边长的两段的积与那条任意分割线的平方和,为什么永远与等腰边长的平方相等?

Question

等腰三角形等边夹角的任意分割线分割对边后,被分割的边长的两段的积与那条任意分割线的平方和,为什么永远与等腰边长的平方相等?

Answer 1

在△ABC中,AB＝AC,D是BC上任意一点,求证：AD^2＋BD×CD＝AB^2.
方法一：
由斯特瓦德定理,有：BD×CD×BC＝AB^2×CD＋AC^2×BD－AD^2×BC.
∵AB＝AC,∴BD×CD×BC＝AB^2×CD＋AB^2×BD－AD^2×BC,
∴AD^2×BC＋BD×CD×BC＝AB^2（CD＋BD）,∴（AD^2＋BD×CD）BC＝AB^2×BC.
显然有：BC＞0,∴AD^2＋BD×CD＝AB^2.
方法二：
过A作AE⊥BC交BC于E.
∵AB＝AC、AE⊥BC,∴BE＝CE＝BC/2.
由勾股定理,有：AD^2＝AE^2＋DE^2、AB^2＝AE^2＋BE^2.
∴AD^2＋BD×CD
＝AE^2＋DE^2＋（BC/2＋DE）（BC/2－DE）＝AE^2＋DE^2＋（1/4）BC^2－DE^2
＝AE^2＋（1/4）BC^2＝AE^2＋BD^2＝AB^2.
即：AD^2＋BD×CD＝AB^2.