设f(x)＝xe−2+x2，g(x)＝exx，对∀x1，x2∈R+，有f(x1)k≤g(x2)k+1恒成立，则正数的k取值范围（）A.（0，1）B.（0，+∞）C.[1，+∞）D.[12e2−1，+∞)

Question

设f(x)＝(x)/(e−2+x2)，g(x)＝(ex)/(x)，对∀x1，x2∈R+，有(f(x1))/(k)≤(g(x2))/(k+1)恒成立，

则正数的k取值范围（　　）
A. （0，1）
B. （0，+∞）
C. [1，+∞）
D. [(1)/(2e2−1)，+∞)

Answer 1

当x＞0时，由基本不等式可得，f（x）=(x)/(e−2+x2)＝(1)/(x+(1)/(e2x))≤(1)/(2√(x•(1)/(e2x)))=(e)/(2)
∵g(x)＝(ex)/(x)∴g′(x)＝((x −1)ex)/(x2)
当x≥1时，g′（x）≥0；x＜1时g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，1）单调递减，在[1，+∞）单调递增
从而可得当x=1时函数g（x）有最小值e
当x₁＞0，x₂＞0时，(f(x1))/(k)≤(g(x2))/(k+1)恒成立，且k＞0
则只要(f(x1))/(k) max≤(g(x2))/(k+1) min即可
即(e)/(2k)≤(e)/(k+1)，解可得k≥1
故选：C