从阴极K发射的电子经电势差U0=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L2=75cm处放置一个直径D=20cm、带有纪录纸的圆

Question

从阴极K发射的电子经电势差U₀=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L₁=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L₂=75cm处放置一个直径D=20cm、带有纪录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射时的初速度不计，如图所示，若在金属板上加一U=1000cos2πt V的交流电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以转速n=2r/s匀速转动．（电子质量m=0.91×10^-30kg电荷量e=1.60×10^-19C）
求：（1）电子经加速后的速度．
（2）电子离开偏转电场时的偏移量y随时间的变化规律．
（3）分析电子在纪录纸上的轨迹形状并画出从t=0开始的1s内所纪录到的图形．

Answer 1

（1）动能定理得：eU₀=(1)/(2)mv₀²
得电子加速后的速度：v₀=√((2eU0)/(m))＝√((2×1.6×10−19×5000)/(0.91×0−30))≈4.2×10⁷ m/s
（2）电子进入偏转电场后，由于在其中运动的时间极短，可以忽略运动期间偏转电压的变化，认为电场是稳定的，因此电子做类平抛的运动．如右图所示．
交流电压在A、B两板间产生的电场强度E=(U)/(d)＝(1000cos2πt)/(0.04)=2.5×10⁴cos2πt V/m
加速度：a＝(eE)/(m)
电子飞离金属板的时间：t1＝(L1)/(v0)
电子飞离金属板时的偏转距离y=(1)/(2)a

t

2 1

=(1)/(2)•(eE)/(m)•

t

2 1

=(1.6×10−19×2.5×104cos2πt)/(0.91×10−30)•((0.1)/(4.2×107))2=0.025cos2πt
（3）电子飞离金属板的时间：t1＝(L1)/(v0)
cos2πt时，偏转的最大偏转距离y₁=(1)/(2)a_mt₁²
代入数据得：y₁=0.025 m
电子飞离金属板时的竖直速度v_y=a_mt₁
电子从飞离金属板到到达圆筒时的偏转距离y₂=v_yt₂=a_mt₁t₂
所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏转距离为y_m=y₁+y₂
代入数据，整理得：总偏转距离为：y_m=y₁+y₂=0.20 m
电子在纪录纸上的落点与时间的关系：y_t=0.2cos2πt m
可见，在记录纸上的点在竖直方向上以振幅0.20 m、周期T=1 s做简谐运动．因为圆筒每秒转2周，故转一周在纸上留下的是前半个余弦图形，接着的一周中，留下后半个图形，合起来1 s内，记录在纸上的图形如右图所示．

答：（1）电子进入偏转电场的初速度4.2×10⁷ m/s．
（2）电子离开偏转电场时的偏移量y随时间的变化规律是y=0.025cos2πt．
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形如图．