从数字0、1、2…,n中任取2个不同的数字,求这2个数字之差的绝对值的数学期望?

Question

从数字0、1、2…,n中任取2个不同的数字,求这2个数字之差的绝对值的数学期望?

Answer 1

从数字0、1、2…,n中任取2个不同的数字,则共有C(n+1,2)=(n+1)n/2种方法.
两个数字差的绝对值为1时,可取(0,1),(1,2)……,(n-1,n); 共n种,概率为P(1)=n/[(n+1)n/2]=2/(n+1);
两个数字差的绝对值为2时,可取(0,2),(1,3)……,(n-2,n); 共n-1种,概率为P(2)=(n-1)/[(n+1)n/2]=2(n-1)/[(n+1)n];
………………………………
两个数字差的绝对值为i时,可取(0,i),(1,i+1)……,(n-i,n); 共n-i+1种,概率为P(i)=(n-i+1)/[(n+1)n/2]=2(n-i+1)/[(n+1)n];
所以期望为
1P(1)+2P(2)+…+iP(i)+…+nP(n)
=2/(n+1)+4(n-1)/[(n+1)n]+…+2i(n-i+1)/[(n+1)n]+…+2n/[(n+1)n]
=2[(n+1)(1+2+…+n)-(1^2+2^2+…+n^2)]/[(n+1)n] （因为上面求和式中的通项可化为2i(n-i+1)/[(n+1)n]=2[(n+1)i-i^2]/[(n+1)n],然后将i=1到n连加）
=2[(n+1)(n+1)n/2-n(n+1)(2n+1)/6]/[(n+1)n] （利用公式1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6）
=n+1-(2n+1)/3
=(n+2)/3.