已知x,y是正数,且1/x+2/y=1求1/(x^2+x)+2/(2y^2+y)的最小值

Question

已知x,y是正数,且1/x+2/y=1求1/(x^2+x)+2/(2y^2+y)的最小值

Answer 1

（换元法）（1）由x,y>0,且(1/x)+(2/y)=1可设1/x=cos²t,2/y=sin²t,===>x=1/cos²t,y=2/sin²t.将其代入z=1/(x²+x)+2/(2y²+y)中,整理可得z=[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²t+4)].(2)由柯西不等式可知,6z=[(cos²t+1)+(sin²t+4)]{[(cost)^4/(cos²t+1)]+[(sint)^4/(sin²+4)]}≥(sin²t+cos²t)²=1.===>z≥1/6.等号仅当sin²t=4/5,cos²t=1/5时取得,即当x=5,y=5/2时取得,故原式的最小值为1/6.