过两条相交直线交点的直线设两条相交直线A1X+B1Y+C1=0和A2X+B2Y+C2=0为什么过其交点的直线可以设为K1(A1X+B1Y+C1)+K2(A2X+B2Y+C2)=0其实这个结论粗略想想是正确的,因为K1(A1X+B1Y+C1)+K2(A2X+B2Y+C2)=0必过其

Question

过两条相交直线交点的直线
设两条相交直线A1X+B1Y+C1=0 和 A2X+B2Y+C2=0
为什么过其交点的直线可以设为K1(A1X+B1Y+C1)+K2(A2X+B2Y+C2)=0
其实这个结论粗略想想是正确的,因为K1(A1X+B1Y+C1)+K2(A2X+B2Y+C2)=0
必过其交点,第二这是个直线方程,所以可以这样设.
但是第一我无法证明所以过其交点的直线都可以这样表示,
第二我还想更深入的了解这个设法的含义.

Answer 1

设两直线的交点为x0, y0,
则所有过该点的直线都可以表示成
A(x-x0) + B(x-x0) = 0, A和B为任意常数
令 A = K1A1 + K2A2, B = K1B1+K2B2
(K1A1+K2A2)(x-x0) + (K1B1+K2B2)(y-y0) = 0
K1(A1X+B1Y-A1X0-B1Y0) + K2(A2X+B2Y-A2X0-B2Y0) = 0
因为 A1X0+B1Y0+C1=0 和 A2X0+B2Y0+C2=0
K1(A1X+B1Y+C1)+K2(A2X+B2Y+C2)=0