如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km．

Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60 ^o (海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4 km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为q．
（1）将tanq表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使q取得最大值．

Answer 1

（1） ；（2） 点距 点6km.

试题分析：（1）由图可知 ，因此为了求 ，可通过求 和 ， ，下面关键要求 ，为止作 ，垂足为 ，这时会发现随 的取值不同， 点可能在线段 上，也可能在线段 外， 可能为锐角也可能为钝角，这里出现了分类讨论，作 交 延长线于 ，由已知可求出 ，这就是分类的分界点；（2）由（1）求得 ，要求它的最大值，可以采取两种方法，一种是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子 作为整体，分子分母同时除以 （当然分母也已经化为 的多项式了），再用基本不等式求解，也可用导数知识求得最大值.
（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．
由题知，AB＝4.5，BC＝4 ，∠ABF＝90 ^o －60 ^o ＝30 ^o ，
所以CE＝AF＝4.5×sin30 ^o ＝ ，BF＝4.5×cos30 ^o ＝ ，
AE＝CF＝BC＋BF＝ ．
因为CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝ ＝ ．
当x＞ 时，ED＝x－ ，tan∠ADC＝ ＝ ＝ （如图1）；

当0＜x＜ 时，ED＝ －x，tan∠ADC＝－ ＝ （如图2）．            4分
所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝
＝ ＝ ，其中x＞0且x≠ ．
当x＝ 时tanq＝

作业帮用户 2016-12-15 举报

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