高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性．某滑雪轨道的完整结构可以简化成如图所示的示意图．其中AB段是助滑雪道，倾角α=30°，BC段是水平起跳台，CD段

Question

高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性．某滑雪轨道的完整结构可以简化成如图所示的示意图．其中AB段是助滑雪道，倾角α=30°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆雪道，AB段与BC段圆滑相连，DE段是一小段圆弧（其长度可忽略），在D、E两点分别与CD、EF相切，EF是减速雪道，倾角θ=37°．轨道各部分与滑雪板间的动摩擦因数均为μ=0.25，图中轨道最高点A处的起滑台距起跳台BC的竖直高度h=10m．A点与C点的水平距离L₁=20m．运动员连同滑雪板的质量m=60kg，滑雪运动员从A点由静止开始起滑，通过起跳台从C点水平飞出，落在着陆雪道CD上后沿斜面下滑到D时速度为20m/s．运动员可视为质点，设运动员在全过程中不使用雪杖助滑，忽略空气阻力的影响，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）运动员从A点到C点的过程中克服摩擦力所做的功；
（2）在着陆雪道CD上的着陆位置与C点的距离；
（3）从运动员到达D点起，经3.0s正好通过减速雪道EF上的G点，求EG之间的距离．

Answer 1

（1）滑雪运动员从A到C的过程中克服摩擦力的功：W_f=μmgL₁=0.25×60×10×20=3000J；
（2）滑雪运动员从A到C的过程中，由动能定理得：mgh−μmgL1＝(1)/(2)m

v

2 C

…①
解得：v_C=10m/s
滑雪运动员从C水平飞出到落到着陆雪道过程中作平抛运动，
x=v_Ct …②
y＝(1)/(2)gt2 …③
tanθ＝(y)/(x) …④
着陆位置与C点的距离s＝(x)/(cosθ) …⑤
解②～⑤得：s=18.75m；
着陆位置到D点的距离s′=18.75m．
（3）滑雪运动员在着陆雪道上做匀加速直线运动，
初速度为：v₀=v_Ccosθ+gtsinθ…⑥
由牛顿第二定律可得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₁…⑦
运动到D点的速度为：

v

2 D

＝

v

2 C

+2a1s′…⑧
解⑥～⑧得：v_D=20m/s
滑雪运动员在减速雪道上做匀减速直线运动，
加速度为：-mgsinθ-μmgcosθ=ma₂…⑨
减速到速度为0时，经过的时间为：t1＝(0−vD)/(a2)…⑩
通过的位移为：s1＝(vD)/(2)t1
解 ⑨～⑩得：s₁=25m
t₁=2.5s＜3.0s
滑雪运动员在减速雪道上又向下做匀加速直线运动，
加速度为：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
时间为：t₂=0.5s
通过的位移为：s2＝(1)/(2)a1

t

2 2

解 得：s₂=0.5m
EG之间的距离为：s_EG=s₁-s₂=24.5m
答：（1）滑雪运动员从A到C的过程中克服摩擦力的功为3000J：
（2）运动员在着陆雪道CD上的着陆位置与C点的距离为18.75m；
（3）EG之间的距离为24.5m．