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现有31行67列表格一个,每个小格都只填1个数,从左上角开始,第一行依次为1,2,…67;第二行依次为68,69…134;…依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写,从左上角开始,第一

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现有31行67列表格一个,每个小格都只填1个数,从左上角开始,第一行依次为1,2,…67;第二行依次为68,69…134;…依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写,从左上角开始,第一列从上到下依次为1,2…,31;第二列从上到下依次为32,33,…,62;…依次把表格填满.对于上述两种填法,在同一小格里两次填写的数相同,这样的小格在表格中共有______个.
▼优质解答
答案和解析
共有7个.理由如下:设第i行第j列称为aij(i=1,2,3,…,31,j=1,2,3,…,67),
则有第一种填法:aij=67(i-1)+j;第二种填法:aij=31(j-1)+i.当67(i-1)+j=31(j-1)+i时,在同一小格里两次填的数相同,移项、合并同类项、并系数化为1,
得11i-5j=6.当i=1,j=1时,aij=1;当i=6,j=12时,aij=347;当i=11,j=23时,aij=693;当i=16,j=34时,aij=1039;当i=21,j=45时,aij=1385;当i=26,j=56时,aij=1731;当i=31,j=67时,aij=2077.
故答案为:7
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