如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF．
因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，
所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC…（2分）
又AD∩DE=D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，
所以平面FBC∥平面EAD
又FC⊂平面FBC，
所以FC∥平面EAD…（4分）
（2）连接FO、FD，则
因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形，
因为O为BD中点．所以FO⊥BD，
又因为O为AC中点，且FA=FC，
所以AC⊥FO
又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD…．（6分）
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA＝OF＝√(3)，
所以O(0，0，0)，A(√(3)，0，0)，B(0，1，0)，C(−√(3)，0，0)，F(0，0，√(3))…..（8分）
所以

CF

=（√(3)，0，√(3)），

CB

=（√(3)，1，0），
设平面BFC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则有

√(3)x+√(3)z＝0

√(3)x+y＝0

，令x=1，则

n

=（1，-√(3)，1）
因为BD⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为

OB

=（0，1，0）…．（10分）
因为二面角A-FC-B为锐二面角，设二面角的平面角为θ
则cosθ=|(n•OB)/(|n||OB|)|=(√(15))/(5)，
所以二面角A-FC-B的余弦值为(√(15))/(5)…（12分）