任意一个三角形ABC的面积为S,D为三角形内任取的一点,则三角形ABC的面积和三角形

Question

任意一个三角形ABC的面积为S,D为三角形内任取的一点,则三角形ABC的面积和三角形

Answer 1

如图,过BC边上的高的1/3处作EF∥BC,则落在EF上及以下的D点所构成的△DBC的面积≤S/3
同理,过AC边上的高的1/3处作MN∥AC,则在MN以右靠近AC的D点构成的△DAC的面积≤S/3
即图形中,落在阴影部分的点所构成的三角形面积均≤S/3,
则符合条件的面积大于S/3的点只能落在空白区域△EMP内
由于在1/3高处作平行线,∴EF=2BC/3,PF=NC=BC/3,∴EP=EF-PF=BC/3
又EF和MQ将BC上的高分为3等份,∴△EMP上的高为△ABC的高的1/3
∴S△EMP=1/3*1/3*S△ABC=1/9S△ABC
∴DBC的面积和ADC的面积都大于S/3的概率是1/9
图像如下：