一个流形可以有本质上不同的几个微分结构,问是不是每个流形都有微分结构?请给出没有微分结构的流形的例

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答案和解析

在3维以下空间中流形的微分结构是唯一的,而4维以上空间中微分结构不唯一.
可参看关于拓扑学中一个有趣的问题：米尔诺怪球
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工作而进入了黄金时期.此前,数学家们都以为在流形上只存在一种微分结构.但1956年,美国数学家米尔诺却在七维球面上找到了28种不同的微分结构.这一令人震惊的结论为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称.
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是奇峰迭起.其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有关结论最为引人注目.1980年以前,数学家们已经证明了,除4维外,所有的欧几里得空间都只具有一种微分结构.1982年,英国牛津大学的数学家唐纳尔逊证明了在4维欧几里得空间上存在着与通常不同的微分结构.也就是说世界数学家和物理学家们从牛顿时代以来所惯用的微分结构并不是唯一可能的.不久又有人证明了在4维欧几里得空间上可以有无穷多种微分结构,通常的微分结构只不过是其中之一.究竟是什么原因造成了四维时空的与众不同.数学家们目前还不能回答这个事关重大的问

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