如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；（2）若AB=4，CD=6，AB，CD所成的角为60°，求四边形EFGH的面积的最大值．

Question

如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．

（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，AB，CD所成的角为60°，求四边形EFGH的面积的最大值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG．
∵HG⊂平面ABD，EF不在平面ABC内，
∴EF∥平面ABD．…（2分）
∵EF⊂平面ABD，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB．
∵EF⊂平面EFGH，AB不包含于平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH，…（5分）
同理CD平面EFGH．…（6分）
（2）∵EF∥AB，EH∥CD，
∴∠FEH或其补角即为AB，CD所成的角．
设EF=x，EH=y．
由EF∥AB，EH∥CD，得(EF)/(AB)＝(CE)/(CA)，(EH)/(CD)＝(AE)/(CA)，
∴(EF)/(AB)+(EH)/(CD)＝(CE)/(CA)+(AE)/(CA)＝1，
∵AB=4，CD=6，∴(x)/(4)+(y)/(6)＝1，∴y=6（1-(x)/(4)），
∴S_△EFGH=xysin60°=(√(3))/(2)x•6(1−(x)/(4))
=(3√(3))/(4)[−(x−2)2+4]≤3√(3)，
∴x=2时，四边形EFGH的面积有最大值是3√(3)．