如图,RT三角形OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在Y轴上OA和OC的长满足方程（X-3）（X-根号3）=0（OA>OC）,∠CAO=30°,将RT三角形OAC折叠,使OC边落在AC

Question

如图,RT三角形OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在Y轴上
OA和OC的长满足方程（X-3）（X-根号3）=0（OA>OC）,∠CAO=30°,将RT三角形OAC折叠,使OC边落在AC边上,点O与点D重合,折痕为CE （1）求线段OA和OC的长（2）求点D的坐标（3）设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交Y轴与点N,是否存在这样的点M,使得一M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由

Answer 1

（1）由题意知∠CAO=30°,
∴∠OCE=∠ECD=
1
2
∠OCA=30°,
∴在Rt△COE中,OE=OC•tan∠OCE=
3
×
3

3
=1,
∴点E的坐标是（1,0）,
设直线CE的解析式为y=kx+b．
把点C（0,
3
）,E（1,0）代入得
b＝
3

k+b＝0

,
∴
b＝
3

k＝−
3


,
∴直线CE的解析式为y=-
3
x+
3
．
（2）在Rt△AOC中,AC=
OC
sin∠CAO
=2
3
,
AO=
OC
tan∠CAO
=3,
∵CD=OC=
3
,
∴AD=AC-CD=2
3
-
3
=
3
,
过点D作DF⊥OA于点F,
在Rt△AFD中,DF=AD•sin∠CAO=
3

2
,
AF=AD•cos∠CAO=
3
2
,
∴OF=AO-AF=
3
2
．
∴点D的坐标是（
3
2
,
3

2
）．
（3）存在两个符合条件的M点,
第一种情况：此点在第四象限内,设为M1,延长DF交直线CE于M1,
连接M1O,M1O∥AC,
则有DM1∥y轴,
∵OF=
3
2
,
∴设点M1的坐标为（
3
2
,y1）,
又∵点M1在直线CE上,
∴将点M1的坐标代入y=-
3
x+
3
中,
得y1=-
3
×
3
2
+
3
=-
3

2
,即FM1=
3

2
．
∴点M1的坐标是（
3
2
,-
3

2
）,
又∵DM1=DF+FM1=
3

2
+
3

2
=
3
,OC=
3
,
∴DM1=OC,
又∵DM1∥OC,
∴四边形CDM1O为平行四边形,
又∵点O在y轴上,
∴点M1是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内,设为M2,
过点D作DN∥CE交y轴于N,过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2,
则四边形M2NDC为平行四边形,
∴M2N=CD=
3
,
∵M2N∥CD,DN∥CE,
∴∠NM2C=∠ACE,∠OCE=∠M2CN,
∴CN=M2N,
∵M2N=CD=
3
,
∴CN=
3
,
作M2H⊥y轴于点H,
∵M2N∥CD,
∴∠M2NC=∠NCD,
∴∠M2NH=∠OCA=60°,
在Rt△M2NH中,
M2H=M2N•sin60°=
3
×
3

2
=
3
2
,
NH=M2N•cos60°=
3
×
1
2
=
3

2
,
∴HO=HN+CN+OC=
5
3

2
,
∴M2（-
3
2
,
5
3

2
）,
∴点M2是符合条件的点,
综上所述,符合条件的两个点的坐标分别为M1（
3
2
,-
3

2
）,M2（-
3
2
,
5
3

2
）．