（2013•哈尔滨一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2且，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离

Question

（2013•哈尔滨一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面 PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2且，E为AD 的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）连结PE、BE、BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形
∵E为AD 的中点，∴BE⊥AD
∵△PAD为等边三角形，E为AD 的中点，∴PE⊥AD
∵PE、BE是平面PBE内部的相交直线，∴AD⊥平面PBE
∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB；
（2）平面PBE内作直线EH⊥PB于H，
∵AD⊥平面PBE，AD∥BC，∴BC⊥平面PBE，
∵EH⊂平面PBE，∴EH⊥BC
又∵EH⊥PB，BC∩PB=B，∴EH⊥平面PBC
由此可得EH长就是点E到平面PBC的距离
∵等边△ABD的边长为2，∴中线BE=(√(3))/(2)AB=√(3)
同理可得PE=√(3)
∵平面 PAD⊥平面ABCD，平面 PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，可得PE⊥BE
∴△PEB是等腰直角三角形，可得斜边PB上的高EH=(√(2))/(2)PE=(√(6))/(2)
因此，点E到平面PBC的距离等于(√(6))/(2)．