步行者要在最短时间内从田野A处到B处,AB=1300m,一条直道穿过田野,A离道路600m,B离路100m,人在田野上速度为3km/h,道路上6km/h,则怎样选择路径,及最短时间?最好容易明白的本来就没图，题目已经说

Question

步行者要在最短时间内从田野A处到B处,AB=1300m,一条直道穿过田野,A离道路600m,B离路100m,人在田野上速度为3km/h,道路上6km/h,则怎样选择路径,及最短时间?
最好容易明白的
本来就没图，题目已经说得很清楚了啊

Answer 1

这类题从运动学的角度一般可采用等效替代法
如果人在在公路上走了2L的路程,就等于田野里走了L的路程,两者所用时间是相同的.于是可以将这个问题等效为求在田野里走的最短路程.
如果单纯地从A到B,则时间t=(1300/1000)/3=0.433h.设AP,BQ垂直于公路,P,Q在公路上.如果从A到P到Q最后到B,时间t=(600/1000)/3+(1200/1000)/6+(100/1000)/3=0.433h.可以发现两种方法时间是相同的.所以,最省时间的走法一定要在公路上走一段路程.
现假设人从A点沿直线走到公路上的M点,然后在公路上从M点走到N点,最后再从N点沿直线走道B点.也就是说,AM和BN是在田野里走,MN是在公路上走.
现在过M点做与公路成60度角的直线,过N做与公路成30度角的直线,两直线交于O点.所以三角形OMN是一个特殊的直角三角形.角MON是直角,角OMN=60度.于是,在公路上走的路程MN就可以等效为在田野里走了OM的路程.现在要求前半段在田野里走的路程最小,即求AM+OM的最小值.通过作图你可以发现,只有当AM和OM在一条直线上时,即角AMP=60度时,AM+OM最小（这里一定是MN为定值的前提才能比较）.于是,按照同样的方法（指在N点做一个60度内角的直角三角形）可以得到,当角BNQ =60度时,后半段在田野里走的等效路程最小.如果延长AM,BN交于F点,你可以发现三角形FMN是等边三角形.于是这时,总路程一定最短.
因为AP=600m,BQ=100m,PQ=1200m.所以PM=600/根3=(200根3)m.QN=(100/根3)m.MN=(1200-200根3-100/根3)m.AM=(400根3)m.BN=(200/根3)m.
所以最短时间t=(AM/1000)/3+(MN/1000)/6+(BN/1000)/3=0.402h
路程就是从A到M到N最后到B.
做这类题目一定要画图,根据上面所说的画出图你就一目了然了.