一道离散数学题从{1,2,...,200}中选出100个数,其中一个小于16,求证在选出的100个数中存在两个数,他们其中的一个整除另外一个

Question

一道离散数学题
从{1,2,...,200}中选出100个数,其中一个小于16,求证在选出的100个数中存在两个数,他们其中的一个整除另外一个

Answer 1

假设命题成立.
首先将1-200按照连续除以2,直到不能被2整除的结果分为100组,即:
1,1*2,1*4,...
3,3*2,3*4,...
...
197
199
每一组中的数都能互相整除.所以如果想取100个不能互相整除的数,只能每个组取一个.设取的数为
a1 = 1*2^k1
a3 = 3*2^k3
a5 = 5*2^k5
...
a199 = 199*2^k199
设那个小于16的数为ai=i*2^ki,i>0.
则a3i=3i*2^k3i,于是k3i