vf和e的关系

Question

v f和e的关系

Answer 1

V=顶点 F=面 E=棱
证明思路一：逐步减少多面体的棱数,分析V＋F－E．
先以简单的四面体ABCD为例加以说明．
1、去掉一个面,再将它压缩为平面图形．四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变．因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V＋F1－E＝1．
2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉．每去掉一条线段,就减少一个面,V＋F1－E不变．依次去掉所有的外围线段,变为“树枝形”．
3、从剩下的树枝形中,逐一去掉线段,直至只剩一条线段．每去掉一条线段,就减少一个顶点,V＋F1－E不变,最后只剩下一条线段,此时V＋F1－E＝2＋0－1＝1．
4、以上过程V＋F1－E不变,V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一个面,V＋F－E ＝2．
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多面体都是正确的．
证明思路二：计算多面体各面内角和．
设多面体顶点数V,面数F,棱数E．剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α．
一方面,在原图中利用各面求内角总和．
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：
∑α ＝[(n1－2)·1800＋(n2－2)·1800 ＋…＋(nF－2) ·1800〕
＝(n1＋n2＋…＋nF－2F) ·1800
＝(2E－2F) ·1800
＝（E－F）·3600 （1）
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和．
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n－2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V－n个顶点在中间．中间V－n个顶点处的内角和为(V－n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n－2)·1800．
所以,多面体各面的内角总和：
∑α ＝（V－n）·3600＋（n－2）·1800＋（n－2）·1800
＝（V－2）·3600 （2）
由（1）（2）得：（E－F）·3600 ＝（V－2）·3600
所以 V＋F－E＝2．