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如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以
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如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m) 2 +n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切,其半径为3(1﹣ )a. (1)求点A的坐标和∠ABO的度数; (2)当点C与点A重合时,求a的值; (3)点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切? |
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▼优质解答
答案和解析
(1)当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣ , ∴OA=1,OB= 。 ∴A的坐标是(0,1)。 ∴tan∠ABO= ∴∠ABO=30°。 (2)∵△CDE为等边三角形,点A(0,1), ∴tan30 °= , ∴OD= 。 ∴D的坐标是(﹣ ,0), E的坐标是( ,0), 把点A(0,1),D(﹣ ,0),E( ,0)代入 y=a(x﹣m) 2 +n,得 (3)如图,设切点分别是Q,N,P,连接MQ,MN,MP,ME,过点C作CH⊥x轴,H为垂足,过A 作AF⊥CH,F为垂足。 ∵△CDE是等边三角形,∠ABO=30 °, ∴∠BCE=90 °,∠ECN=90 °。 ∵CE,AB分别与⊙M相切, ∴∠MPC=∠CNM=90 °。 ∴四边形MPCN为矩形。 ∵MP=MN, ∴四边形MPCN为正方形。 ∴MP=MN=CP=CN=3(1﹣ )a(a<0)。 ∵EC和x轴都与⊙M相切, ∴EP=EQ。 ∵∠NBQ +∠NMQ=180°, ∴∠PMQ=60°。 ∴∠EMQ,=30°。 ∴在Rt△MEP中,tan30°= , ∴PE=( ﹣3)a。 ∴CE=CP+PE=3(1﹣ )a+( ﹣3)a=﹣2 a。 ∴DH=HE=﹣ a,CH=﹣3a,BH=﹣3 a。 ∴OH=﹣3 a﹣ ,OE=﹣4 a﹣ 。 ∴E(﹣4 a﹣ ,0),C(﹣3 a﹣ ,﹣3a)。 设二次函数的解析式为:y=a(x+3 a+ ) 2 ﹣3a, ∵E在该抛物线上,∴a(﹣4 a﹣ +3 a+ ) 2 ﹣3a=0, 得:a 2 =1,解之得a 1 =1,a 2 =﹣1。 ∵a<0,∴a=﹣1。 ∴AF=2 ,CF
作业帮用户
2016-12-12
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