已知函数f（x）=x2-4x+a+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[a，a+2]上的最大值为3，求a的值．

Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在[a，a+2]上的最大值为3，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）由函数y=f（x）在R上至少有一个零点，
即方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一个实数根．
∴△=16-4（a+3）≥0，
解得a≤1．
（Ⅱ）函数f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴方程是x=2．
①当a+1≤2，即a≤1时，ymax＝f(a)＝a2−3a+3＝3．
解得a=0或3．
又a≤1，
∴a=0．
②当a+1＞2，即a＞1时，ymax＝f(a+2)＝a2+a−1＝3
解得a＝(−1±√(17))/(2)．
又a＞1，∴a＝(−1+√(17))/(2)．
综上可知：a=0或(−1+√(17))/(2)．