已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时,f(x)小于0,（1）求证：f(x)为R上的奇函数（2)求证：f(x)在R上递减（3）若f（1）=-2,求f(x)在-3,3上的最值

Question

已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时,f(x)小于0,
（1）求证：f(x)为R上的奇函数 （2)求证：f(x)在R上递减 （3）若f（1）=-2,求f(x)在【-3,3】上的最值

Answer 1

（1）
令x=0,y=0得
f(0)+f(0)=f(0)
2f(0)=f(0)
f(0)=0
令x=x,y=-x得
f(x)+f(-x)=f(0)
f(x)+f(-x)=0
所以f(x)在R上的奇函数
(2)
由于f(x)在R上的是奇函数,所以f(x)单调
f(x)<0 即f(x)0)
所以f(x) f(x)在R上递减
(3)
f(1)+f(1)=f(1+1)
f(2)=-4
f(1)+f(2)=f(1+2)
f(3)=-6
由于f(x)在R上的是奇函数,所以
f(-3)=6
又因为f(x)在R上递减
所以当3≥x≥-3 时,6≥f(x)≥-6
所以求f(x)在【-3,3】上的最大值为6,最小值为-6