已知正三棱锥P-ABC的底面边长和高均为2，则该三棱锥的外接球和内切球半径之比为．

Question

已知正三棱锥P-ABC的底面边长和高均为2，则该三棱锥的外接球和内切球半径之比为___．

Answer 1

如图，球心O到四个顶点的距离相等，
在直角三角形BOE中，
BO=R，EO=2-R，BE=(2√(3))/(3)，
由BO²=BE²+EO²，得R=(4)/(3)，
∴外接球的半径为(4)/(3)，
设内切球半径为r，则(1)/(3)×(√(3))/(4)×4×2=(1)/(3)×（(√(3))/(4)×4+3×(1)/(2)×2×(√(39))/(3)）r，
∴r=(√(13)-1)/(6)，
∴该三棱锥的外接球和内切球半径之比为(2(√(13)+1))/(3)．
故答案为：(2(√(13)+1))/(3)．