正三棱锥的底边长为6,侧棱为4,则此正三棱锥的外接球半径为

Question

正三棱锥的底边长为6,侧棱为4,则此正三棱锥的外接球半径为

Answer 1

记正三棱锥的顶点为A,底面为BCD,底面中心为H,外接球球心为O,半径为R,则AOH三点共线,连BH并延长交DC于E,则BE=3√3,BH=2√3,AH=AO+OH=R+OH,在直角三角形AHB中AB^2=BH^2+AH^2=BH^2+(R+OH)^2=12+R^2+2ROH+OH^2=16,(R+OH)^2=4,R+OH=2
在直角三角形OHB中OB^2=BH^2+OH^2,R^2=12+OH^2,(R-OH)(R+OH)=12,R-OH=3
所以R=2.5