已知函数f(x)＝(1ax−1+12)x2+bx+6(a，b为常数，a＞1)，且f（lglog81000）=8，则f（lglg2）的值是．

Question

已知函数f(x)＝((1)/(ax−1)+(1)/(2))x2+bx+6(a，b为常数，a＞1)，且f（lglog₈1000）=8，则f（lglg2）的值是______．

Answer 1

∵函数f(x)＝((1)/(ax−1)+(1)/(2))x2+bx+6(a，b为常数，a＞1)，
∴f（x）-6=（(1)/(ax−1)+(1)/(2)）x²+bx，
构造函数F（x）=f（x）-6=（(1)/(ax−1)+(1)/(2)）x²+bx=(2+ax−1)/(2(ax−1))x²+bx=(ax+1)/(2(ax−1))x²+bx，
则F（-x）=(1+ax)/(2(1−ax))x2−bx=-[(ax+1)/(2(ax−1))x²+bx]=-F（x），
∴函数F（x）是奇函数．
∵lglog₈1000=lg（(lg1000)/(lg8)）=lg（(3)/(3lg2)）=lg（(1)/(lg2)）-lg（lg2），
∴f（lglog₈1000）=f（-lg（lg2））=8，
∵函数F（x）=f（x）-6是奇函数．
∴F（-lg（lg2））=-F（lg（lg2）），
即f（-lg（lg2））-6=-[f（lg（lg2））-6]，
∴8-6=-f（lg（lg2））+6，
即f（lg（lg2））=4，
故答案为：4．