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一本书标有2011页,从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈,直到末页.然后从末页开始向前,每21页也在最前一页加注一个红圈,直到第一页.问一共有多少页加注了两个红

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一本书标有2011页,从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈,直到末页.然后从末页开始向前,每21页也在最前一页加注一个红圈,直到第一页.问一共有多少页加注了两个红圈?并写出它们的页面号码.
▼优质解答
答案和解析
第一次从前往后加注红圈时,设加注红圈的页码为m,
则m=1+11k,k=1,2,3…,m≤2011.(1)
∴1+11k≤2011,∴1≤k≤182.
第二次从后往前加注红圈时,由2011÷21=95…16,可知这时加红圈的页面号码m就是从第16页开始向后每隔20页加注红圈的页面号码,除了第16页和最末一页(第2011页)是例外,于是第二次加注红圈的页面号码是
m=16+21k′,k′=0,1,2,…,94.(2)
结合(1)(2),于是得到
m=1+11k=16+21k′,
∴k=1+2k′+
4−k′
11

∴m=16+21×4=100是两个红圈重合的页面号码之最小者,注意到11与21的最小公倍数[11,21]=231,
因此,两个红圈重合的页面号码是m=100+231n.
由m≤2011,得100+231n≤2011,0≤n≤8,
即n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,
故一共有9页加注了两个红圈,分别是第100页,第331页,第562页,第793页,第1024页,第1255页,第1486页,第1717页,第1948页.
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