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Question

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对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an+an+1}也是“M类数列”；

Answer 1

（1）因为an=2n，则有an+1=an=+2，n∈N*， 故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2． 因为bn=3•2n，则有bn+1=2bn，n∈N*， 故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0． 证明：（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q， 使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立， 且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立， 因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立， 故数列{an+an+1}也是“M类数列”． 对应的实常数分别为p，2q．