某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：时间（天）1361036…日销售量（件）9490847624…未来40天

Question

某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：

时间（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁，（元/件）与时间t（天）的函数关系是y₁=(1)/(4)t+25（1≤t≤40且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系是y₂=-(1)/(2)t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的只是确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天的哪一天销售利润最大？最大日销售的利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，
设一次函数为y=kt+b，
将（36，24）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有

36k+b=24

10k+b=76

，
解得：

k=-2

b=96

．
故所求函数解析式为y=-2t+96；
（2）设销售利润为W，
则W=

(-2t+96)((1)/(4)t+25-20)(1≤t≤20)

(-2t+96)(-(1)/(2)t+40-20)(21≤t≤40)

配方得
W=

-(1)/(2)(t-14)2+578(1≤t≤20)

(t-44)2-16(21≤t≤40)

，
当1≤t≤20，t=14时W_最大=578，
当21≤t≤40时，W随x增大而减小，故当t=21时，W_最大=513，
综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元．
（3）由题意得：
W=（-2t+96）（(1)/(4)t+5-a）（1≤t≤20）
配方得：
W=-(1)/(2)[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20），
因为t为整数，所以函数图象是为20个分布在抛物线上的散点，要使日销售利润随时间t增大而增大，则要求对称轴14+2a>19.5，解得a≥2.75；
又题目要求a<4，
故2.75≤a<4．