某乳制品公司开发一种新的乳制品，第一批产品上市30天内全部售完，该公司对第一批产品上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量y

Question

某乳制品公司开发一种新的乳制品，第一批产品上市30天内全部售完，该公司对第一批产品上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量y₁与上市时间x的关系，图2中的折线表示的是每件该产品的销售利润y₂与上市时间x的关系．

（1）求第一批产品的市场日销售量y₁与上市时间x的关系式；
（2）求每件该产品的销售利润y₂与上市时间x的关系式；
（3）问第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？

Answer 1

（1）设y₁=kx+b，
当0≤x≤15，找出两点坐标（0，0），（15，45），
代入解析式得：

b＝0

15k+b＝45

，
解得：

k＝3

b＝0

，
则此时解析式为：y₁=3x；
当

3x(0≤x≤15)

−x+60(15＜x≤30)

15＜x≤30，找出两点坐标（15，45），（30，30），
代入解析式得：

15k+b＝45

30k+b＝30

，
解得：

k＝−1

b＝60

，
则此时解析式为：y₁=-x+60，
故日销售量y₁与上市时间x的关系式为：y₁=

3x(0≤x≤15)

−x+60(15＜x≤30)

；

（2）设y₂=mx+n，
当0≤x≤20时，找出两点坐标（0，0），（20，40），
代入解析式得：

n＝0

20m+n＝40

，
解得：

m＝2

n＝0

，
则此时解析式为：y₂=2x；
当20＜x≤30时，找出两点坐标（20，40），（30，40），
代入解析式得：

20m+n＝40

30m+n＝40

，
解得：

m＝0

n＝40

，
则此时解析式为：y₂=40，
故每件该产品的销售利润y₂与上市时间x的关系式为：
y₂=

2x(0≤x≤20)

40(20＜x≤30)

；

（3）设利润为W，则W=y₁y₂，
则W=

3x•2x(0≤x≤15)

(−x+60)•2x(15＜x≤20)

40(−x+60)(20＜x≤30)

，
当0≤x≤15时，W=6x²，
x=15时W取最大值W=6×15×15=1350（元）；
当15＜x≤20时，W=-2x²+120x=-2（x-30）²+1800，
∵-3＜0，
∴开口向下，对称轴为x=30，
∴当x=20时W取最大值W=1600（元）；
当20＜x≤30时，W=-40x+2400，
∵-40＜0，
∴当20＜x≤30时随着x的增大W值减小，
故当x=20时W取最大值W=-40×20+2400=1600（元）
答：第20天这家公司市场日销售利润最大，最大日销售利润是多1600元．